একের ভিতর তিন | গণিত ইশকুল

গণিত ইশকুলের বন্ধুরা কেমন আছ ? শিরোনাম দেখে অনেকে ভাবতে শুরু করে দিয়েছ “একের ভিতর তিন” আসলে কী ? আমিই বলে দিচ্ছি, আজকে তোমাদের সঙ্গে ৩টি মজার জ্যামিতি সমস্যা নিয়ে আলোচনা করব। তাহলে চলো, একে একে শুরু করা যাক।

আমরা জানি, বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে দুটি স্পর্শক টানলে, ওই বিন্দু থেকে স্পর্শ বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব সমান।

এখন চিত্র থেকে দেখা যাচ্ছে- AE = AF,

তাহলে ∠AEF = ∠AFE

∴ ∠BEP = ∠CFP

ধরি, অন্তর্বৃত্তের কেন্দ্র I। এবার I, B ; I, D ; I, F ; I, E ; D, E ও D, F যোগ করি। তাহলে নতুন চিত্রটা হবে-

এখন, ∠BID = ∠DIE/2 = ∠PFD

এখানে ∠BID = ∠DIE/2, কারণ BI ,∠DIE কে সমদ্বিখণ্ডিত করে এবং ∠DIE/2 = ∠PFD, কারণ একই চাপের ওপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ ∠PFD, কেন্দ্রস্থ কোণ ∠DIE এর অর্ধেক।

∠IDB = ∠DPF [উভয়ই এক সমকোণ]

এবং অবশিষ্ট ∠IBD = অবশিষ্ট ∠PDF

∴ ∆IBD ও ∆PDF সদৃশ ও সদৃশকোণী।

∴ ID/PF = BD/PD … … … (i)

একইভাবে প্রমাণ করা যায় যে, ∆PDE ও ∆ICD সদৃশ ও সদৃশকোণী।

∴ PE/ID = PD/CD … … … (ii)

(i) নং ও (ii) নং গুণ করে পাই, PE/PF = BD/CD

→ PE/PF = BE/CF [∵ CD = CF, BD = BE]

এখন, ∆PEB ও ∆PFC হতে পাই, ∠PEB = ∠PFC এবং PE/PF = BE/CF

আবার আমরা জানি, দুটি ত্রিভুজের একটির এক কোণ অপরটির এক কোণের সমান হলে এবং সমান সমান কোণসংলগ্ন বাহুগুলো সমানুপাতিক হলে, ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ হবে।

∴ ∆PEB ও ∆PFC সদৃশ ও সদৃশকোণী।

∴ ∠BPE = ∠CPF … … … (iii)

এখন, ∠DPE = ∠DPF

→ ∠EPB + ∠BPD = ∠CPD + ∠CPF

→ ∠BPE + ∠BPD = ∠CPD + ∠BPE [(iii) নং হতে]

∴ ∠BPD = ∠CPD

তাহলে আমাদের ১ম সমস্যার প্রমাণ হয়ে গেল। আশা করি বুঝতে কোনো সমস্যা হয়নি। আমরা আমাদের ২য় সমস্যায় চলে যাই।

A বিন্দু থেকে EF এর লম্ব আঁকি, যা I বিন্দু দিয়ে যাবে। আচ্ছা কেন EF লম্ব I দিয়ে যাবে ?

দেখো ∆AEF একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ, যার AE = AF। আবার ∆EIF একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ, যার IE = IF। এখন যদি A বিন্দু থেকে EF এর অঙ্কিত লম্ব EF কে যে বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করবে, I বিন্দু থেকেও EF এর অঙ্কিত লম্ব EF কে সে একই বিন্দুতেই সমদ্বিখণ্ডিত করবে। তাই A বিন্দু থেকে EF এর অঙ্কিত লম্ব I বিন্দুগামী। তাহলে চিত্রটা হবে-

এখন, ∠EAI = ∠FAI = ∠A/2,

কারণ ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু ও ওই ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্তের কেন্দ্রের সংযোজন রেখা শীর্ষবিন্দুস্থ কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। অর্থাৎ AI, ∠EAF এর সমদ্বিখণ্ডক।

তাহলে, ∠FEB = 90° + ∠A/2 [ত্রিভুজের একটি বাহু বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান]

∴ ∠EQB = 180° - (90° + ∠A/2) - ∠B/2 = 90° - (∠A + ∠B)/2 = 90° - 90° + ∠C/2 = ∠C/2

এখন চিত্রে লক্ষ্য করলে দেখবে- BPQC চতুর্ভুজটি বৃত্তস্থ।

কেননা ∠EQB = ∠BCP = (∠C)/2 এবং প্রত্যেক কোণ একই চাপ BP এর ওপর দণ্ডায়মান।

তাহলে, ∠BPC = ∠BQC

আবার আমরা চিত্রের দিকে একটু লক্ষ করি- ∠EQB = ∠C/2 এবং ∠ICF = ∠C/2

তাহলে, ∠IQF + ∠ICF = ∠IQF + ∠EQB = 180°, ফলে IQFC চতুর্ভুজটি বৃত্তস্থ।

কেননা আমরা জানি, কোনো চতুর্ভুজের দুটি বিপরীত কোণ সম্পূরক হলে তার শীর্ষবিন্দু চারটি সমবৃত্ত হবে।

আবার আমরা জানি, বৃত্তের কোনো বিন্দুতে স্পর্শক ও ওই স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ পরস্পর লম্বভাবে অবস্থিত। অর্থাৎ IF⊥AC হবে।

এখন, ∠IQC = ∠IFC = 90° [উভয়ই একই চাপ IC এর ওপর দণ্ডায়মান]

সুতরাং, ∠BPC = ∠BQC = 90°

সমস্যা-২ ও আমাদের প্রমাণ হয়ে গেল।

এখন আমরা সমস্যা-৩ এ চলে যাব।

এই সমস্যা সমাধানের ক্ষেত্রে আমরা ওপরের দুটি সমস্যার সাহায্য নেব। তার আগে আমরা প্রমাণের স্বার্থে কিছু অঙ্কন করব।

বিন্দু B থেকে অন্তর্বৃত্তের কেন্দ্রগামী একটি রেখা টানি, যা EF কে Q বিন্দুতে ছেদ করে। C, Q যোগ করি। চিত্রটা তাহলে হবে-

এখন, ∠BQC = 90° হবে কারণ সমস্যা-২ তে আমরা প্রমাণ করেছি।

চিত্র থেকে দেখা যাচ্ছে- BPQC চতুর্ভুজটি বৃত্তস্থ। কারণ ∠BPC = ∠BQC = 90°।

আবার প্রমাণ সমস্যা-২ তে দেখিয়ে ছিলাম ∠EQB = ∠C/2।

তাহলে, ∠BCP = ∠C/2 হবে। কারণ একই চাপ BP এর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ। সুতরাং, CP রেখাটি অন্তর্বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যাবে।

এখন, BPC সমকোণী ত্রিভুজ হতে পাই- ∠PBC + ∠PCB = 90°

→ ∠PBC + ∠PCF = 90°

→ ∠PBC + ∠PBE = 90° [∠PBE = ∠PCF সমস্যা-১ প্রমাণ করা হয়েছে]

∴ ∠B = 90°

সুতরাং, ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ∠B = 90°

এখন, ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাস উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই-

AC² = AB² + BC²

→ BC² = AC² - AB²

→ BC² = 22² - 20²

∴ BC² = 84

যাক অবশেষে আমাদের সমস্যা-৩ ও সমাধান হয়ে গেল।

আশা করি তোমাদের সবার জ্যামিতি তিনটি ভালো লাগবে।